ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు మొత్తాల ఉత్పత్తి

ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు మొత్తాల ఉత్పత్తి

ఉత్పత్తుల మొత్తం (SOP) మరియు మొత్తం (POS) యొక్క ఉత్పత్తులను కలిగి ఉన్న కానానికల్ వ్యక్తీకరణ యొక్క వివిధ రూపాలు, ది కానానికల్ వ్యక్తీకరణ a గా నిర్వచించవచ్చు బూలియన్ వ్యక్తీకరణ ఇది కనిష్ట పదం లేకపోతే గరిష్ట పదం. ఉదాహరణకు, మనకు X & Y అనే రెండు వేరియబుల్స్ ఉంటే, అప్పుడు కనిష్ట పదాలతో కూడిన కానానికల్ వ్యక్తీకరణ XY + X'Y 'అవుతుంది, అయితే గరిష్ట నిబంధనలతో కూడిన కానానికల్ వ్యక్తీకరణ (X + Y) (X' + Y ' ). ఈ వ్యాసం ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు మొత్తాల ఉత్పత్తి, SOP మరియు POS రకాలు, స్కీమాటిక్ డిజైన్ మరియు K- మ్యాప్ యొక్క అవలోకనాన్ని చర్చిస్తుంది.



ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు మొత్తాల ఉత్పత్తి

యొక్క భావన ఉత్పత్తుల మొత్తం (SOP) ప్రధానంగా minterm, SOP రకాలు, K- మ్యాప్ మరియు SOP యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్ ఉన్నాయి. అదేవిధంగా, మొత్తాల ఉత్పత్తి (POS) ప్రధానంగా కలిగి ఉంటుంది గరిష్ట పదం , రకాలు మొత్తాల ఉత్పత్తి , k- మ్యాప్ మరియు POS యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్.


ఉత్పత్తి మొత్తం (SOP) అంటే ఏమిటి?

ఉత్పత్తి మొత్తం యొక్క చిన్న రూపం SOP, మరియు ఇది ఒక రకమైనది బూలియన్ బీజగణితం వ్యక్తీకరణ. దీనిలో, విభిన్న ఉత్పత్తి ఇన్‌పుట్‌లు కలిసి జోడించబడుతున్నాయి. ఇన్‌పుట్‌ల ఉత్పత్తి బూలియన్ తార్కిక మరియు అయితే మొత్తం లేదా అదనంగా బూలియన్ లాజికల్ OR. ఉత్పత్తుల మొత్తం యొక్క భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి ముందు, మేము minterm యొక్క భావనను తెలుసుకోవాలి.





ది కనిష్ట పదం ఇన్పుట్ల కనీస కలయికలు ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు అవుట్పుట్ ఎక్కువగా ఉంటుంది. దీనికి మంచి ఉదాహరణ AND గేట్, కాబట్టి నిమిషం నిబంధనలు AND గేట్ ఇన్‌పుట్‌ల కలయికలు అని చెప్పగలను. కనిష్ట పదం యొక్క సత్య పట్టిక క్రింద చూపబడింది.

X.



వై తో

కనిష్ట పదం (మ)

0

0

0

X’Y’Z ’= m0

0

01

X’Y’Z = m1

0

10X’Y Z ’= m2
011

X’YZ = m3

100

XY’Z ’= m4

1

01XY’Z = m5
110

XYZ ’= m6

111

XYZ = m7

పై పట్టికలో, X, Y, Z అనే మూడు ఇన్‌పుట్‌లు ఉన్నాయి మరియు ఈ ఇన్‌పుట్‌ల కలయికలు 8. ప్రతి కలయికలో m తో పేర్కొన్న ఒక minterm ఉంటుంది.

ఉత్పత్తి మొత్తం (SOP) రకాలు

ది ఉత్పత్తుల మొత్తం లో అందుబాటులో ఉంది మూడు వేర్వేరు రూపాలు వీటిలో కిందివి ఉన్నాయి.


  • ఉత్పత్తుల యొక్క కానానికల్ మొత్తం
  • ఉత్పత్తుల యొక్క కానానికల్ కాని మొత్తం
  • ఉత్పత్తుల కనీస మొత్తం

1). ఉత్పత్తుల యొక్క కానానికల్ మొత్తం

ఇది SOP యొక్క సాధారణ రూపం, మరియు ఇది o / p అధికంగా లేదా నిజమైనదిగా ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క మైనర్లను సమూహపరచడంతో ఏర్పడుతుంది మరియు దీనిని మినిటర్మ్స్ మొత్తం అని కూడా పిలుస్తారు. కానానికల్ SOP యొక్క వ్యక్తీకరణ సంకేత సమ్మషన్ (∑) తో సూచించబడుతుంది మరియు అవుట్పుట్ నిజమైనప్పుడు బ్రాకెట్‌లోని సూక్ష్మచిత్రాలు తీసుకోబడతాయి. ఉత్పత్తి యొక్క కానానికల్ మొత్తం యొక్క సత్య పట్టిక క్రింద చూపబడింది.

X.

వై తో

ఎఫ్

0

000
001

1

0

101
011

1

1

000
101

1

1

100
111

0

పై పట్టిక కోసం, ది కానానికల్ SOP రూపం అని వ్రాయవచ్చు F = ∑ (m1, m2, m3, m5)
పై సమ్మషన్‌ను విస్తరించడం ద్వారా మనం ఈ క్రింది ఫంక్షన్‌ను పొందవచ్చు.
F = m1 + m2 + m3 + m5
పై సమీకరణంలో మైనర్లను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మనం ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందవచ్చు
F = X’Y’Z + X’YZ ’+ X’YZ + XY’Z
కానానికల్ రూపం యొక్క ఉత్పత్తి పదం పరిపూరకరమైన మరియు పొగడ్త లేని ఇన్‌పుట్‌లను కలిగి ఉంటుంది

2). ఉత్పత్తుల యొక్క కానానికల్ కాని మొత్తం

ఉత్పత్తి రూపం యొక్క కానానికల్ కాని మొత్తంలో, ఉత్పత్తి నిబంధనలు సరళీకృతం చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, పై కానానికల్ వ్యక్తీకరణను తీసుకుందాం.
F = X’Y’Z + X’YZ ’+ X’YZ + XY’Z
F = X’Y’Z + X’Y (Z ’+ Z) + XY’Z
ఇక్కడ Z ’+ Z = 1 (ప్రామాణిక ఫంక్షన్)
F = X’Y’Z + X’Y (1) + XY’Z
F = X’Y’Z + X’Y + XY’Z
ఇది ఇప్పటికీ SOP రూపంలో ఉంది, కాని ఇది కానానికల్ కాని రూపం

3). ఉత్పత్తుల కనీస మొత్తం

ఇది ఉత్పత్తి యొక్క మొత్తం యొక్క అత్యంత సరళీకృత వ్యక్తీకరణ, మరియు ఇది కానానికల్ కాని రకం కూడా. ఈ రకమైన డబ్బా బూలియన్ బీజగణితంతో సరళీకృతం చేయబడింది సిద్ధాంతాలు అయినప్పటికీ ఇది ఉపయోగించడం ద్వారా జరుగుతుంది కె-మ్యాప్ (కర్నాగ్ మ్యాప్) .

ఇన్పుట్ లైన్ల సంఖ్య కారణంగా ఈ ఫారం ఎంచుకోబడింది & గేట్లు ఉపయోగించబడతాయి ఇందులో కనిష్టం. తక్కువ తయారీ ధరతో పాటు దాని ఘన పరిమాణం, శీఘ్ర వేగం కారణంగా ఇది లాభదాయకంగా ఉపయోగపడుతుంది.

కానానికల్ ఫారమ్ ఫంక్షన్ మరియు కనిష్టానికి ఉదాహరణ తీసుకుందాం ఉత్పత్తుల మొత్తం K మ్యాప్ ఉంది

SOP K- మ్యాప్

SOP K- మ్యాప్

K- మ్యాప్ ఆధారంగా దీని వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది

F = Y’Z + X’Y

ఉత్పత్తి మొత్తం యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్

ఉత్పత్తి మొత్తం యొక్క వ్యక్తీకరణ రెండు-స్థాయి AND-OR రూపకల్పనను అమలు చేస్తుంది, మరియు ఈ రూపకల్పనకు AND గేట్ల సేకరణ మరియు ఒక OR గేట్ అవసరం. ఉత్పత్తి మొత్తం యొక్క ప్రతి వ్యక్తీకరణకు ఇలాంటి డిజైనింగ్ ఉంటుంది.

SOP యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్

SOP యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్

ఇన్‌పుట్‌ల సంఖ్య మరియు AND గేట్ల సంఖ్య ఒకటి అమలు చేస్తున్న వ్యక్తీకరణపై ఆధారపడి ఉంటుంది. AND-OR గేట్లను ఉపయోగించి కనిష్ట మొత్తం ఉత్పత్తి & కానానికల్ వ్యక్తీకరణ కోసం డిజైన్ పైన చూపబడింది.

మొత్తం ఉత్పత్తి (POS) అంటే ఏమిటి?

మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క చిన్న రూపం POS, మరియు ఇది ఒక రకమైన బూలియన్ బీజగణిత వ్యక్తీకరణ. దీనిలో, ఇది అసమానమైన ఇన్పుట్ల ఉత్పత్తులను తీసుకునే ఒక రూపం, ఇవి అంకగణిత ఫలితం & మొత్తం కాదు, అయినప్పటికీ అవి తార్కిక బూలియన్ AND & OR. మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి ముందు, మేము గరిష్ట పదం యొక్క భావనను తెలుసుకోవాలి.

గరిష్ట సంఖ్యను అత్యధిక సంఖ్యలో ఇన్పుట్ కాంబినేషన్లకు నిజం అని నిర్వచించవచ్చు, లేకపోతే సింగిల్ ఇన్పుట్ కాంబినేషన్కు ఇది తప్పు. OR గేట్ కేవలం ఒక ఇన్పుట్ కలయికకు తప్పుడు అందిస్తుంది. అందువల్ల గరిష్ట పదం ఏదైనా పూరక లేకపోతే పూరకంగా లేని ఇన్పుట్లలో OR.

X.

వై తో మాక్స్ టర్మ్ (ఓం)

0

00

X + Y + Z = M0

001

X + Y + Z '= M1

0

10X + Y ’+ Z = M2
011

X + Y ’+ Z’ = M3

1

00X ’+ Y + Z = M4
101

X ’+ Y + Z’ = M5

1

10X ’+ Y’ + Z = M6
111

X ’+ Y’ + Z ’= M7

పై పట్టికలో, X, Y, Z అనే మూడు ఇన్‌పుట్‌లు ఉన్నాయి మరియు ఈ ఇన్‌పుట్‌ల కలయికలు 8. ప్రతి కలయికకు M తో పేర్కొన్న గరిష్ట పదం ఉంటుంది.

గరిష్ట పరంగా, ప్రతి ఇన్పుట్ పరిపూర్ణంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది ‘0’ మాత్రమే అందిస్తుంది, అయితే పేర్కొన్న కలయిక వర్తించబడుతుంది & minterm యొక్క పూరక గరిష్ట పదం.
ఎం 3 = ఎం 3 ’
(X’YZ) ’= M3
X + Y ’+ Z’ = M3 (డి మోర్గాన్ చట్టం)

మొత్తాల ఉత్పత్తి రకాలు (POS)

మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తి క్రింది రకాలను కలిగి ఉన్న మూడు రకాలుగా వర్గీకరించబడింది.

  • మొత్తాల కానానికల్ ఉత్పత్తి
  • మొత్తాల కానానికల్ ఉత్పత్తి
  • మొత్తాల కనీస ఉత్పత్తి

1). మొత్తం యొక్క కానానికల్ ఉత్పత్తి

కానానికల్ POS ను గరిష్ట పదం యొక్క ఉత్పత్తిగా కూడా పిలుస్తారు. ఇవి మరియు ఉమ్మడిగా o / p తక్కువ లేదా తప్పు. ఇది వ్యక్తీకరణ by చే సూచించబడుతుంది మరియు అవుట్పుట్ తప్పుగా ఉన్నప్పుడు బ్రాకెట్‌లోని గరిష్ట పదాలు తీసుకోబడతాయి. మొత్తం యొక్క కానానికల్ ఉత్పత్తి యొక్క సత్య పట్టిక క్రింద చూపబడింది.

X.

వై తో ఎఫ్
000

0

0

011
010

1

0

111
100

0

101

1

1

100
111

0

పై పట్టిక కోసం, కానానికల్ POS ను ఇలా వ్రాయవచ్చు F = ∏ (M0, M4, M6, M7)
పై సమీకరణాన్ని విస్తరించడం ద్వారా మనం ఈ క్రింది ఫంక్షన్‌ను పొందవచ్చు.
F = M0, M4, M6, M7
పై సమీకరణంలో గరిష్ట పదాలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మనం ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందవచ్చు
F = (X + Y + Z) (X ’+ Y + Z) (X’ + Y ’+ Z) (X’ + Y ’+ Z’)
కానానికల్ రూపం యొక్క ఉత్పత్తి పదం పరిపూరకరమైన మరియు పొగడ్త లేని ఇన్‌పుట్‌లను కలిగి ఉంటుంది

2). మొత్తం యొక్క కానానికల్ ఉత్పత్తి

యొక్క వ్యక్తీకరణ మొత్తం ఉత్పత్తి (POS) సాధారణ రూపంలో లేదు కానానికల్ రూపం అని పేరు పెట్టబడింది. ఉదాహరణకు, పై వ్యక్తీకరణను తీసుకుందాం
F = (X + Y + Z) (X ’+ Y + Z) (X’ + Y ’+ Z) (X’ + Y ’+ Z’)
F = (Y + Z) (X ’+ Y + Z) (X’ + Y ’+ Z’)
సారూప్యమైన పదాలు రెండు మాక్స్ నిబంధనల నుండి తీసివేసినప్పటికీ & ఇక్కడ చూపించడానికి మాత్రమే పదం ఏర్పడుతుంది.
= (X + Y + Z) (X ’+ Y + Z)
= XX ’+ XY + XZ + X’Y + YY + YZ + X’Z + YZ + ZZ
= 0 + XY + XZ + X’Y + YY + YZ + X’Z + YZ + Z.
= X (Y + Z) + X '(Y + Z) + Y (1 + Z) + Z.
= (Y + Z) (X + X ’) + Y (1) + Z.
= (Y + Z) (0) + Y + Z.
= Y + Z.
పై తుది వ్యక్తీకరణ ఇప్పటికీ ప్రొడక్ట్ ఆఫ్ సమ్ రూపంలో ఉంది, అయితే ఇది కానానికల్ కాని రూపంలో ఉంది.

3). మొత్తాల కనీస ఉత్పత్తి

ఇది మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క అత్యంత సరళీకృత వ్యక్తీకరణ, మరియు ఇది కానానికల్ కాని రకం కూడా. ఈ రకమైన డబ్బా బూలియన్ బీజగణిత సిద్ధాంతాలతో సరళీకృతం చేయబడింది, అయినప్పటికీ ఇది K- మ్యాప్ (కర్నాగ్ మ్యాప్) ను ఉపయోగించడం ద్వారా జరుగుతుంది.

ఇన్పుట్ లైన్ల సంఖ్య కారణంగా ఈ ఫారం ఎంచుకోబడింది & గేట్లు ఇందులో ఉపయోగించబడుతున్నాయి. తక్కువ తయారీ ధరతో పాటు దాని ఘన పరిమాణం, శీఘ్ర వేగం కారణంగా ఇది లాభదాయకంగా ఉపయోగపడుతుంది.

కానానికల్ ఫారమ్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉదాహరణను తీసుకుందాం మొత్తాల ఉత్పత్తి K మ్యాప్ ఉంది

POS K- మ్యాప్

POS K- మ్యాప్

K- మ్యాప్ ఆధారంగా దీని వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది

F = (Y + Z) (X ’+ Y’)

మొత్తం ఉత్పత్తి యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్

మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క వ్యక్తీకరణ రెండు స్థాయిలు OR- మరియు రూపకల్పనను అమలు చేస్తుంది మరియు ఈ రూపకల్పనకు OR గేట్ల సేకరణ మరియు ఒక AND గేట్ అవసరం. మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క ప్రతి వ్యక్తీకరణకు ఇలాంటి డిజైనింగ్ ఉంటుంది.

POS యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్

POS యొక్క స్కీమాటిక్ డిజైన్

ఇన్‌పుట్‌ల సంఖ్య మరియు AND గేట్ల సంఖ్య ఒకటి అమలు చేస్తున్న వ్యక్తీకరణపై ఆధారపడి ఉంటుంది. OR-AND గేట్లను ఉపయోగించి కనీస మొత్తం ఉత్పత్తి & కానానికల్ వ్యక్తీకరణ కోసం డిజైన్ పైన చూపబడింది.

అందువలన, ఇది అన్ని గురించి కానానికల్ రూపాలు : ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు మొత్తాల ఉత్పత్తి, స్కీమాటిక్ డిజైన్, కె-మ్యాప్, మొదలైనవి పై సమాచారం నుండి చివరకు, బూలియన్ వ్యక్తీకరణ పూర్తిగా మైనర్ ఏమైనా కలిగి ఉంటుందని మేము నిర్ధారించగలము, లేకపోతే గరిష్టానికి కానానికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ అని పేరు పెట్టారు. ఇక్కడ మీ కోసం ఒక ప్రశ్న ఉంది, కానానికల్ వ్యక్తీకరణల యొక్క రెండు రూపాలు ఏమిటి?