ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ అంటే ఏమిటి? ఎనర్జీ బ్యాండ్ రేఖాచిత్రం మరియు బోల్ట్జ్మాన్ ఉజ్జాయింపు

ఎలక్ట్రాన్లు మరియు రంధ్రాలు లో విద్యుత్ బదిలీలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది సెమీకండక్టర్స్ . ఈ కణాలు సెమీకండక్టర్‌లో వేరే శక్తి స్థాయిలో అమర్చబడి ఉంటాయి. ఒక శక్తి స్థాయి నుండి మరొకదానికి ఎలక్ట్రాన్ల కదలిక విద్యుత్తును ఉత్పత్తి చేస్తుంది . లోహం లోపల ఒక ఎలక్ట్రాన్ శక్తి స్థాయిని కలిగి ఉండాలి, అది అధిక శక్తి స్థాయికి తప్పించుకోవడానికి ఉపరితల అవరోధ శక్తి కంటే కనీసం ఎక్కువ.

ఎలక్ట్రాన్ల లక్షణాలు మరియు ప్రవర్తనను వివరిస్తూ అనేక సిద్ధాంతాలు ప్రతిపాదించబడ్డాయి మరియు అంగీకరించబడ్డాయి. కానీ ఎలక్ట్రాన్ యొక్క కొన్ని ప్రవర్తన, ఉష్ణోగ్రత మొదలైన వాటిపై ఉద్గార ప్రవాహం యొక్క స్వాతంత్ర్యం… ఇప్పటికీ మిస్టరీగానే ఉంది. అప్పుడు పురోగతి గణాంకాలు, ఫెర్మి డిరాక్ గణాంకాలు , ద్వారా ప్రచురించబడింది ఎన్రికో ఫెర్మి మరియు పాల్ డిరాక్ 1926 లో ఈ పజిల్స్ పరిష్కరించడానికి సహాయపడింది.

అప్పటి నుండి ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ నక్షత్రాల పతనం తెల్ల మరగుజ్జుకు వివరించడానికి, లోహాల నుండి ఉచిత ఎలక్ట్రాన్ ఉద్గారాలను వివరించడానికి వర్తించబడుతుంది….

ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ

ప్రవేశించే ముందు ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ ఫంక్షన్ చూద్దాం శక్తి వివిధ రకాల సెమీకండక్టర్లలో ఎలక్ట్రాన్ల పంపిణీ. ఉచిత ఎలక్ట్రాన్ యొక్క గరిష్ట శక్తి సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఒక పదార్థంలో ఉంటుంది .i.e. 0k వద్ద ఫెర్మి ఎనర్జీ లెవల్ అంటారు. ఫెర్మి శక్తి యొక్క విలువ వేర్వేరు పదార్థాలకు మారుతూ ఉంటుంది. సెమీకండక్టర్‌లో ఎలక్ట్రాన్లు కలిగి ఉన్న శక్తి ఆధారంగా, ఎలక్ట్రాన్లు మూడు ఎనర్జీ బ్యాండ్‌లలో అమర్చబడి ఉంటాయి - కండక్షన్ బ్యాండ్, ఫెర్మి ఎనర్జీ లెవల్, వాలెన్సీ బ్యాండ్.

ప్రసరణ బ్యాండ్ ఉత్తేజిత ఎలక్ట్రాన్లను కలిగి ఉండగా, వాలెన్స్ బ్యాండ్ రంధ్రాలను కలిగి ఉంటుంది. కానీ ఫెర్మి స్థాయి అంటే ఏమిటి? ఫెర్మి స్థాయి అనేది ఎలక్ట్రాన్ చేత ఆక్రమించబడే సంభావ్యత కలిగిన శక్తి స్థితి. సరళంగా చెప్పాలంటే, ఎలక్ట్రాన్ 0 కే వద్ద కలిగి ఉండే గరిష్ట శక్తి స్థాయి మరియు సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఈ స్థాయికి పైన ఎలక్ట్రాన్‌ను కనుగొనే సంభావ్యత 0. సంపూర్ణ సున్నా ఉష్ణోగ్రత వద్ద, ఫెర్మి స్థాయిలో సగం ఎలక్ట్రాన్లతో నిండి ఉంటుంది.

సెమీకండక్టర్ యొక్క ఎనర్జీ బ్యాండ్ రేఖాచిత్రంలో, ఫెర్మి స్థాయి అంతర్గత సెమీకండక్టర్ కోసం ప్రసరణ మరియు వాలెన్స్ బ్యాండ్ మధ్యలో ఉంటుంది. బాహ్య సెమీకండక్టర్ కోసం, ఫెర్మి స్థాయి వాలెన్సీ బ్యాండ్ దగ్గర ఉంది పి-రకం సెమీకండక్టర్ మరియు కోసం ఎన్-టైప్ సెమీకండక్టర్ , ఇది ప్రసరణ బ్యాండ్ దగ్గర ఉంది.

ఫెర్మి శక్తి స్థాయిని సూచిస్తారు IS_ఎఫ్, ప్రసరణ బ్యాండ్ ఇలా సూచించబడుతుంది IS_సి మరియు వాలెన్స్ బ్యాండ్ E గా సూచిస్తారు_వి.

N మరియు P రకాల్లో ఫెర్మి స్థాయి

N మరియు P- రకం సెమీకండక్టర్లలో ఫెర్మి స్థాయి

ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ ఫంక్షన్

థర్మల్ సమతౌల్య పరిస్థితులలో అందుబాటులో ఉన్న శక్తి స్థితి ‘ఇ’ సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత T వద్ద ఎలక్ట్రాన్ చేత ఆక్రమించబడే సంభావ్యత ఫెర్మి-డిరాక్ ఫంక్షన్ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. క్వాంటం ఫిజిక్స్ నుండి, ఫెర్మి-డిరాక్ పంపిణీ వ్యక్తీకరణ

K అనేది బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం ^లేదాTO , T అనేది ఉష్ణోగ్రత ⁰TO మరియు IS_ఎఫ్ eV.k = 1.38X10 లోని ఫెర్మి శక్తి స్థాయి^{-2. 3}జె / కె

ఫెర్మి స్థాయి నిషేధిత బ్యాండ్ లేనట్లయితే నింపే 50% సంభావ్యత కలిగిన శక్తి స్థితిని సూచిస్తుంది, .i.e., ఉంటే ఇ = ఇ_ఎఫ్ అప్పుడు f (E) = 1/2 ఉష్ణోగ్రత యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం.

ఫెర్మి-డిరాక్ పంపిణీ ఇచ్చిన శక్తి స్థాయిలో రాష్ట్రం యొక్క ఆక్యుపెన్సీ యొక్క సంభావ్యతను మాత్రమే ఇస్తుంది, కాని ఆ శక్తి స్థాయిలో అందుబాటులో ఉన్న రాష్ట్రాల సంఖ్య గురించి ఎటువంటి సమాచారం ఇవ్వదు.

ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ మరియు శక్తి బ్యాండ్ రేఖాచిత్రం

f (E) Vs (E-E_ఎఫ్) ప్లాట్లు

పై ప్లాట్లు వివిధ ఉష్ణోగ్రత పరిధులలో ఫెర్మి స్థాయి యొక్క ప్రవర్తనను చూపుతాయి టి = 0⁰కె, టి = 300⁰కె, టి = 2500⁰TO. వద్ద టి = 0 కె , వక్రరేఖకు దశ-వంటి లక్షణాలు ఉన్నాయి.

వద్ద టి = 0⁰TO , ఫెర్మి-డిరాక్ ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగించడం ద్వారా ఎలక్ట్రాన్లు ఆక్రమించిన మొత్తం శక్తి స్థాయిల సంఖ్యను తెలుసుకోవచ్చు.

ఇచ్చిన శక్తి స్థాయికి ఇ> ఇ_ఎఫ్ , ఫెర్మి-డిరాక్ ఫంక్షన్‌లో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ పదం 0 అవుతుంది మరియు దీని అర్థం ఆక్రమిత శక్తి స్థాయిని కనుగొనే సంభావ్యత కంటే ఎక్కువ IS_ఎఫ్ సున్నా.

ఇచ్చిన శక్తి స్థాయికి ISఎఫ్ దీని విలువ అంటే శక్తితో ఉన్న అన్ని శక్తి స్థాయిలు ఫెర్మి స్థాయి E కంటే తక్కువగా ఉంటాయి_ఎఫ్వద్ద ఆక్రమించబడుతుంది టి = 0⁰TO . సంపూర్ణ సున్నా ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఎలక్ట్రాన్ కలిగి ఉన్న గరిష్ట శక్తి ఫెర్మి శక్తి స్థాయి అని ఇది సూచిస్తుంది.

సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత కోసం మరియు ఇ = ఇ_ఎఫ్ , అప్పుడు ఉష్ణోగ్రత విలువ నుండి స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత కోసం మరియు ISఎఫ్ , అప్పుడు ఘాతాంకం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. f (E) 0.5 వద్ద మొదలవుతుంది మరియు E తగ్గినప్పుడు 1 వైపు పెరుగుతుంది.

సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత కోసం మరియు ఇ> ఇ_ఎఫ్ , ఘాతాంకం సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు E. f (E) తో పెరుగుతుంది 0.5 నుండి మొదలవుతుంది మరియు E పెరుగుతున్నప్పుడు 0 వైపు తగ్గుతుంది.

ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ బోల్ట్జ్మాన్ ఉజ్జాయింపు

మాక్స్వెల్- బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీ సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ ఉజ్జాయింపు .

ఫెర్మి-డిరాక్ పంపిణీ ద్వారా ఇవ్వబడింది

ద్వారా మాక్స్వెల్ ఉపయోగించి - బోల్ట్జ్మాన్ ఉజ్జాయింపు పై సమీకరణానికి తగ్గించబడింది

క్యారియర్ యొక్క శక్తి మరియు ఫెర్మి స్థాయి మధ్య వ్యత్యాసం పెద్దగా ఉన్నప్పుడు, హారం 1 అనే పదాన్ని నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు. ఫెర్మి-డిరాక్ పంపిణీ యొక్క అనువర్తనం కోసం, ఎలక్ట్రాన్ పౌలి యొక్క ప్రత్యేకమైన సూత్రాన్ని అనుసరించాలి, ఇది అధిక డోపింగ్ వద్ద ముఖ్యమైనది. కానీ మాక్స్వెల్-బోల్ట్జ్మాన్ పంపిణీ ఈ సూత్రాన్ని నిర్లక్ష్యం చేస్తుంది, అందువల్ల మాక్స్వెల్-బోల్ట్జ్మాన్ ఉజ్జాయింపు తక్కువ మోతాదు కేసులకు పరిమితం చేయబడింది.

ఫెర్మి డిరాక్ మరియు బోస్-ఐన్‌స్టీన్ గణాంకాలు

ఫెర్మి-డిరాక్ గణాంకాలు క్వాంటం గణాంకాల శాఖ, ఇది శక్తి-రాష్ట్రాలలో కణాల పంపిణీని వివరిస్తుంది, ఇది పౌలి-మినహాయింపు సూత్రాన్ని పాటించే సారూప్య కణాలను కలిగి ఉంటుంది. సగం-పూర్ణాంక స్పిన్ ఉన్న కణాలకు F-D గణాంకాలు వర్తించబడతాయి కాబట్టి, వీటిని ఫెర్మియన్స్ అంటారు.

సమతౌల్యం మరియు సారూప్య కణాల వద్ద థర్మోడైనమిక్‌తో కూడిన వ్యవస్థ, ఒకే-కణ స్థితి I లో, సగటు ఫెర్మియన్ల సంఖ్య F-D పంపిణీ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

ఒకే-కణ స్థితి ఎక్కడ ఉంది నేను , మొత్తం రసాయన సామర్థ్యాన్ని దీని ద్వారా సూచిస్తారు, కు_బి బోల్ట్జ్మాన్ స్థిరాంకం అయితే టి సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత.

బోస్-ఐన్స్టీన్ గణాంకాలు F-D గణాంకాలకు వ్యతిరేకం. ఇది పూర్తి పూర్ణాంక స్పిన్ లేదా స్పిన్ లేని కణాలకు వర్తించబడుతుంది, దీనిని బోసన్స్ అని పిలుస్తారు. ఈ కణాలు పౌలి మినహాయింపు సూత్రాన్ని పాటించవు, అంటే ఒకే క్వాంటం కాన్ఫిగరేషన్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ బోసాన్లతో నింపబడుతుంది.

క్వాంటం ప్రభావం ముఖ్యమైనది మరియు కణాలు వేరు చేయలేనివి అయినప్పుడు F-D గణాంకాలు మరియు బోర్-ఐన్‌స్టీన్ గణాంకాలు వర్తించబడతాయి.

ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ సమస్య

ఘనంగా ఫెర్మి స్థాయి కంటే 0.11eV శక్తి స్థాయిని పరిగణించండి. ఈ స్థాయి ఎలక్ట్రాన్ చేత ఆక్రమించబడని సంభావ్యతను కనుగొనండి?

ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ సమస్య

ఇదంతా ఫెర్మి డిరాక్ పంపిణీ . పై సమాచారం నుండి చివరకు, ఒక వ్యవస్థ యొక్క మాక్రోస్కోపిక్ లక్షణాలను ఫెర్మి-డిరాక్ ఫంక్షన్ ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చని మేము నిర్ధారించగలము. ఇది సున్నా మరియు పరిమిత ఉష్ణోగ్రత కేసులలో ఫెర్మి శక్తిని తెలుసుకోవడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఫెర్మి-డిరాక్ పంపిణీపై మన అవగాహన ఆధారంగా ఎటువంటి లెక్కలు లేకుండా ప్రశ్నకు సమాధానం ఇద్దాం. శక్తి స్థాయి E కోసం, ఫెర్మి స్థాయి కంటే 0.25e.V మరియు సంపూర్ణ ఉష్ణోగ్రత కంటే ఉష్ణోగ్రత, ఫెర్మి పంపిణీ వక్రరేఖ 0 వైపు తగ్గుతుందా లేదా 1 వైపు పెరుగుతుందా?